UJI KECEKUNGAN DALAM MENENTUKAN TITIK

Uji Kecekungan Dalam Memilih Titik 

Perhatikan grafik fungsi berikut !

Dari grafik fungsi diatas sanggup dilihat bahwa :
1.  f cekung ke bawah pada interval x < a atau b < x < c
2.  f cekung ke atas pada interval a < x < b atau x > c.

Titik (a, f(a)), (b, f(b)) dan (c, f(c)) disebut titik belok dimana pada titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya.

Uji Kecekungan Fungsi

Interval kecekungan suatu fungsi sanggup ditentukan dari turunan kedua fungsi tersebut.

1. f(x) cekung ke atas pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) > 0
2. f(x) cekung ke bawah pada setiap nilai x yang memenuhi f ''(x) < 0

Contoh 1

Tentukan interval-interval \(\mathrm{f(x)=x^{3}-6x^{2}-2x+1}\) cekung ke atas dan cekung ke bawah!

Jawab :
f '(x) =  3x2 − 12x

f ''(x) = 6x − 12

f(x) cekung ke atas ⇒ f ''(x) > 0
6x − 12 > 0
x > 2

f(x) cekung ke bawah ⇒ f ''(x) < 0
6x − 12 < 0
x < 2

Kaprikornus f(x) cekung ke atas pada interval x > 2 dan f(x) cekung ke bawah pada interval x < 2.

Titik Belok Fungsi

Misalkan f(x) diferensiabel dua kali pada x = a dan f ''(a) = 0.
Titik (a, f(a)) disebut titik belok fungsi f kalau di sekitar titik tersebut terjadi perubahan kecekungan dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya, sanggup ditulis :

Untuk x < a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)
Untuk x > a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)

atau

Untuk x < a maka f ''(x) < 0 (cekung ke bawah)
Untuk x > a maka f ''(x) > 0 (cekung ke atas)


Contoh 2
Titik belok dari f(x) = x3 − 3x2 + 4x adalah...

Jawab :
f '(x) = 3x2 − 6x + 4
f ''(x) = 6x − 6

f ''(x) = 0
6x − 6 = 0
x = 1

f(1) = (1)3 − 3(1)2 + 4(1) = 2
⇒ (1, 2)

Karena terjadi perubahan kecekungan di x = 1, maka titik (1, 2) ialah titik belok fungsi f.


Contoh 3
Tentukan titik belok dari \(\mathrm{f(x)=x^{4}-6x^{2}+2x-1}\)

Jawab :
f '(x) = 4x3 − 12x +  2
f ''(x) = 12x2 − 12

f ''(x) = 0
12x2 − 12 = 0
x2 − 1 = 0
(x + 1)(x − 1) = 0
x = −1 atau x = 1

f(−1) = (−1)4 − 6(−1)2 + 2(−1) − 1 = −8
⇒ (−1, −8)
f(1) = (1)4 − 6(1)2 + 2(1) − 1 = −4
⇒ (1, −4)

Karena terjadi perubahan kecekungan di x = -1 dan x = 1, maka titik (-1, -8) dan (1, -4) adalah titik belok fungsi f.


Contoh 4
Tentukan titik belok dari fungsi \(\mathrm{f(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}+1}\)

Jawab :
f '(x) = 4x3 − 12x2 + 12x
f ''(x) = 12x2 − 24x + 12

f ''(x) = 0
12x2 − 24x + 12 = 0
x2 − 2x + 1 = 0
(x −1)(x − 1) = 0
x = 1

f(1) = (1)4 − 4(1)3 + 6(1)2 + 1 = 4
⇒ (1, 4)

Karena tidak terjadi perubahan kecekungan pada x = 1, maka titik (1, 4) bukan titik belok fungsi f atau dengan kata lain fungsi tersebut tidak memiliki titik belok.

MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI

Penggunaan Turunan (Nilai Maksimum dan Minimum)

Pada tutorial maple sebelumnya telah dijelaskan penggunaan turunan untuk menguji kemonotonan dan kecekungan suatu fungsi, kali ini tutorial maple akan membahas mengenai penggunaan turunan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.
Pengertian nilai Maksimum dan Minimum
Misalkan kita memiliki fungsi f(x) dan suatu domain S. Kita ingin menyelidiki apakah f(x) memiliki nilai maksimum atau minimum pada S atau tidak. Untuk kasus yang seperti ini kita membutuhkan konsep turunan untuk menyelesaikan masalah ini.
Untuk lebih jelasnya, akan dijelaskan definisi dari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi, yaitu :

• f(c) adalah nilai makasimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S
• f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S
• f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jka f(c) adalah nilai maksimum atau nilai minimum

Untuk mengetahui eksistensi dari nilai minimum dan maksimum dari suatu fungsi, digunakan Teorema Eksistensi Maksimum-Minimum, yaitu
“ Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan minimum”
dari teorema tersebut jelaslah bahwa agar f memiliki nilai maksimum atau minimum maka f harus kontinu dan berada pada selang tertutup [a,b]
Untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi, kita membutuhkan titik – titik kritis. Lalu apa yang dimaksud dengan titik kritis? Berdasarkan Teorema Titik Kritis, yaitu
“andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni berupa salah satu dari :

• titik ujung dari I
• titik stasioner, yaitu titik c sehingga f’(c)=0
• titik singular, yaitu titik c dimana f’(c) tidak ada

dan nilai maksimum adalah nilai f(c) terbesar ketika kita mensubstitusikan semua nilai kritis dalam fungsi f, sedangkan nilai minimum adalah nilai f(c) terkecil ketika kita mensubstitusikan semua nilai kritis dalam fungsi f.

Dalam maple, kita bisa menggunakan perintah “CriticalPoints” untuk mencari titik – titik kritis. Misal kita ingin mencari nilai Maksimum dan Minimum dari fungsi

 

Langkah – langkahnya :

1. cari titik – titik kritisnya, yaitu dengan perintah “CriticalPoints”

• tuliskan with(Student[Calculus1]
•   definisikan fungsi f(x)

f := (8*x^2+18*x)/(x-4)

• tuliskan CriticalPoints(f,x)

maka kita mendapatkan titik – titik kritis yaitu -1, 4, dan 9

1. Selanjutnya kita substitusikan titik – titik tersebut pada f(x)

-          Tuliskan subs(x=-1,f) dan kita mendapatkan nilai 2

-          Tuliskan subs(x=4,f) dan fungsi menjadi tak terdefinisi

-         Tuliskan subs(x=9,f) dan kita mendapatkan nilai 162

Yang merupakan nilai maksimum adalah 162 dan nilai minimum adalah 2

LIMIT BENTUK TAK TENTU 2

Limit Bentuk Tak Tentu

Limit Bentuk Tak Tentu

Konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga atau dari suatu baris saat indeks mendekati tak hingga. Pada Limit terdapat limit bentuk tentu dan limit bentuk tak tentu. Pada postingan kali ini akan diberikan ringkasan padat jelas tentang Limit bentuk tak tentu dan beberapa contoh soal.

Pada limit fungsi trigonometri, telah dipelajari bahwa :

Perhatikan bentuk limit ini untuk x→0, limit pembilang dan limit penyebutnya nol. Bentuk demikian dinamakan bentuk tak tentu 0/0. Kita mengenal tujuh macam bentuk tak tentu limit fungsi, yaitu :

Pada bab ini kita hanya membahas empay bentuk yang pertama saja. Bentuk tak tentu lainnya melibatkan fungsi berpangkat fungsi, penyelesaiannya memerlukan konsep logaritma natural dan teorema L’Hospital. Permasalahan ini akan kita bahas pada penggunaan fungsi transenden dalam perhitungan limit fungsi.

Berikut dua teorema penting untuk mempelajari limit-limit tak tentu :

Berikut beberapa bentuk sekaligus contoh dalam integral tak tentu :

1.Bentuk tak tentu 0/0 :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat dicoba adalah menguraikan pembilang dan penyebut, menggunakan rumus trigonometri, merasionalkan bentuk pecahannya, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu 0/0 diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk 0/0 :

2. Bentuk tak tentu  ∞/∞ :

Cara penyelesaian : Ubahlah bentuk f(x)/g(x) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat digunakan. Cara yang dapat digunakan adalah merasionalkan bentuk pecahannya, memunculkan bentuk 1/x pangkat n, n bilangan asli, dan sebagainya.

Perhitungan limit bentuk tak tentu ∞/∞ diberikan dalam contoh berikut :

Contoh Bentuk ∞/∞ :

3. Bentuk tak tentu 0.∞ :

 

Contoh Bentuk tak tentu 0.∞ :

4. Bentuk Tak Tentu ∞ – ∞ :

Contoh Bentuk   ∞ – ∞ :

ATURAN L'HOPITAL

ATURAN L'HOPITAL

Untuk menyelesaikan permasalahan limit yang mempunyai bentuk tak tentu ini, kita dapat menggunakan aturan l’Hopital yang dikenalkannya oleh Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpital pada tahun 1696. Aturan tersebut adalah:

Sampai hasilnya bukan bentuk tak tentu.

Contoh:

Jika disubstitusi langsung hasilnya 0/0


Cara 1. Metode Pemfaktoran

Cara 2. Dengan Aturan L’Hopital

TURUNAN FUNGSI

PENGERTIAN

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai yang dimasukan, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Pada fungsi y = f(x), turunan dari variabel y terhadap variabel x dinotasikan dengan  atau   atau y’ dan didefinisikan sebagai:

 

RUMUS-RUMUS TURUNAN FUNGSI ALJABAR

Dengan definisi turunan akan dicari rumus-rumus turunan fungsi aljabar yang terdiri dari fungsi pangkat , hasil kali fungsi f(x) = u(x) . v(x), hasil pembagian fungsi  , dan pangkat dari fungsi .

1. Rumus Turunan Fungsi Pangkat

Fungsi berbentuk pangkat turunannya dapat menggunakan rumus

sebagai

Jadi rumus turunan fungsi pangkat adalah:

2. Rumus Turunan Hasil Kali Fungsi

Fungsi f(x) yang terbentuk dari perkalian fungsi u(x) dan v(x), turunannya didapat dengan:

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

3. Rumus Turunan Fungsi Pembagian

Sehingga

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

4. Rumus Turunan Pangkat Dari Fungsi

Ingat jika,

maka

karena

maka:

atau

Jadi rumus turunan fungsinya adalah:

 

Rumus-Rumus Turunan Trigonometri

Berikut ialah beberapa turunan dasar trigonometri yang hatus diketahui sebelum memecahkan persoalan turunan trigonometri:

f (x) = sin x → f ‘(x) = cos x
f (x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
f (x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
f (x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x
f (x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
f (x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I
Misalkan u merupakan fungsi yang bisa diturunkan terhadap x, dimana u’ yaitu turunan u terhadap x, Jadi :

f (x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’
f (x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
f (x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
f (x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
f (x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
f (x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II
Berikut ialah turunan dari fungsi rumus sin cos tan trigonometri pada variabel sudut ax +b, dimana a dan b yaitu bilangan real dengan a≠0 :

f (x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
f (x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
f (x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
f (x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
f (x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
f (x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Aplikasi Turunan

1. Menentukan gradien garis singgung suatu kurva

Gradien garis singgung (m) pada suatu kurva y = f(x) dirumuskan sebagai:

Persamaan garis singgung pada suatu kurva y = f(x) di titik singgung  dirumuskan sebagai:

2. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun

• Syarat interval fungsi naik 
• Syarat interval fungsi turun 

3. Menentukan nilai stasioner suatu fungsi dan jenisnya

Jika fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f'(x) = 0, maka fungsi memiliki nilai statisioner di x = a. Jenis nilai stasioner dari fungsi y = f(x) dapat berupa nilai balik minimum, nilai balik maksimum, atau nilai belok. Jenis nilai stasioner ini bisa ditentukan dengan menggunakan turunan kedua dari fungsi tersebut.

• Nilai maksimum  dan 

Jika  dan , maka  adalah nilai balik maksimum dari fungsi y = f(x) dan titik  adalah titik balik maksimum dari kurva y = f(x).

• Nilai minimum  dan 

Jika  dan , maka  adalah nilai balik minimum dari fungsi   dan titik  adalah titik balik minimum dari kurva y = f(x).

• Nilai belok  dan 

Jika  dan , maka  adalah nilai belok dari fungsi y = f(x) dan titik  adalah titik belok dari kurva y = f(x).

4. Menyelesaikan soal limit berbentuk tak tentu  atau  

Jika  merupakan limit berbentuk tak tentu   atau , maka penyelesaiannya dapat menggunakan turunan, yaitu f(x) dan g(x) masing-masing diturunkan.

Jika dengan turunan pertama sudah dihasilkan bentuk tertentu, maka bentuk tertentu itu adalah penyelesaiannya. Tetapi jika dengan turunan pertama masih dihasilkan bentuk tak tentu, maka masing-masing f(x) dan f(x) diturunkan lagi sampai diperoleh hasil berbentuk tertentu. Cara penyelesaian seperti ini disebut Dalil L’hopital.

5. Menentukan rumus kecepatan dan percepatan

Jika rumus atau persamaan posisi gerak suatu benda sebagai fungsi waktu diketahui yaitu s = f(t), maka rumus kecepatan dan kecepatannya dapat ditentukan yaitu:

• Rumus kecepatan 
• Rumus percepatan